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La serie dei primi

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1 La serie dei primi il Sab Ott 23, 2010 9:17 pm

Dimostrare che

diverge,dove indica l'n-esimo primo.

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2 Re: La serie dei primi il Lun Ott 25, 2010 4:28 pm

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Admin
mmm... premetto che non so se è corretto quanto dico. Osserviamo le somme parziali. esse contano

\pi(n) fattori. Quindi si ha che


Dove . Calcolando ora il limite per n che tende ad infinito, si ha che
Notare che la parte a sinistra della disuguaglianza finale è la somma di infiniti termini consecutivi e che quindi è pari a
ergo si ha che

. Se ne conclude che


Mi aspetto rimproveri.

XD però spero che sia tutto giusto…

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3 Re: La serie dei primi il Lun Ott 25, 2010 8:03 pm

My solution(non so se sia giusta):

Step 1:
Per il teorema dei numeri primi si ha

quindi ponendo avremo (per proprietà dei logaritmi ) e .Noto che ,per cui avremo
da cui si può dedurre che .
(Fonti :An introduction to the number theory di Hardy e Wright)
Step 2: la serie dei primi diverge
Ora possiamo scrivere che
.
Usando il criterio di una serie per l'integrale avremo:

perciò la serie diverge.

* si ottiene ponendo

P.S. non so se sono in grado di corregere la tua soluzione,penso però che sia giusta a primo impatto.Ma devi vedere se è giusta la mia



Ultima modifica di NumberT. il Mer Ott 27, 2010 1:21 pm, modificato 2 volte

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4 Re: La serie dei primi il Lun Ott 25, 2010 9:21 pm

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Admin
Shocked Cos'è il criterio di una serie per un integrale ?

MI sembra tutto corretto.... Very Happy Very good !

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5 Re: La serie dei primi il Mar Ott 26, 2010 2:21 pm

Comunque è il criterio dell'integrale per una serie(ho sbagliato a scrivere Smile ).E' una cosa che di solito viene usata per le serie infinite e molto spesso per le serie armoniche.Serve molte volte per stabilire se una serie divere o converge.Ti faccio capire meglio:
Se prendiamo in considerazione la serie usando il criterio di convergenza,avremo che ,quindi ci verebbe naturale dire che la serie converge,ma non è così,poichè possiamo scrivere(per il criterio dell'integrale per una serie):,perciò le serie in questo caso divergerà.

Non sono bravo a spiegare ,però più o meno l'idea è questa, anche se poi c'è una dimostrazione vera e propria di questo fatto

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6 Re: La serie dei primi il Mar Ott 26, 2010 7:33 pm

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Admin
Figoo Shocked Non la avevo mai sentita sta cosa...

Puoi vedere se la mia dimostrazione è corretta ? Mi sembra trppo banale per esserlo francamente, ma magari... XD Si basa anche lei sul fatto che la serie armonica diverge...

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7 Re: La serie dei primi il Mar Ott 26, 2010 8:19 pm

Non so se la spiegazione di prima sia propriamente corretta,però penso che sul libro di quinto dovrebbe esserci (almeno da me è cosi').Consiglio di leggertela sul libro o fare qualche ricerca,perchè può darsi che, come ho già detto,non so dire le cose benissimo,quindi potresti cadere in errore(non sono tanto esperto di questo criterio,però sembra figo anche a me XD)

P.S. Cercherò di vedere la tua soluzione(sempre se sarò in grado di farlo)

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8 Re: La serie dei primi il Mar Ott 26, 2010 8:36 pm

Ecco ho trovato una cosa che può interessarti: link

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9 Re: La serie dei primi il Mar Ott 26, 2010 8:55 pm

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Admin
Fighissimo, grazie mille, molto bello, non lo avevo mai sentito.... H anahce un sacco di implicazioni interessanti al cosa mi pare XD

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10 Re: La serie dei primi il Mar Ott 26, 2010 9:30 pm

Anche io ero contento quando l'ho visto per la prima volta.

P.S. Sto gurdando la tua soluzione.h cos'è ? Non lo specifichi mi pare......comunque non sembra tanto banale e penso che sia corretta,magari se la guardasse uno più esperto di me.......boh,comunque non sembra strambalata.



Ultima modifica di NumberT. il Mer Ott 27, 2010 1:13 pm, modificato 1 volta

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11 Re: La serie dei primi il Mar Ott 26, 2010 10:04 pm

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Admin
ecco, ho messo h, come ho spiegato ( malamente ) appena sotto, perchè quella sommatoria varia su infiniti termini consecutivi della serie armonica e quindi per h si intende il limite per n che tende ad infinito dell'estremo inferiore della sommatoria precedente che essendo però pari ad infinito, non aveva senso scriver edirettamente. insomma, ho scritto un generico numero h per rendere il fatto che si sommano infiniti termini "infinitamente lontani" della sere armonica, che diverge comunque...

Spero di essere stato il più chiaro possibile

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12 Re: La serie dei primi il Gio Ott 28, 2010 8:51 pm

Ok.........ho visto la tua soluzione e ritengo che sia corretta.Non credo sia banale,ma è chiara e precisa,quindi credo vada bene.Very Good! Wink

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